《概率论与数理统计》课程教学大纲
课程名称：概率论与数理统计
Probability Theory and Mathematical Statistics
课程代码：06S1109B
课程类别：专业核心课/必修课
适用专业：数学与应用数学专业
课程学时：64学时
课程学分：4学分
修读学期：第4学期
先修课程：数学分析、高等代数
二、课程目标
本课程由概率论与数理统计两部分组成。概率论侧重于理论探讨，介绍概率论的基本概念，建立一系列定理和公式，其中包括随机事件和概率、随机变量及分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理等内容。数理统计部分则是以概率论为理论基础，研究如何对试验结果进行统计推断。包括数理统计的基本概念、参数估计等。通过本课程的学习，使学生具有一定的随机意识，掌握基本的数理统计思想和方法。
（一）具体目标
通过本课程的学习，使学生达到以下目标：
1. 理解和掌握概率论的基本概念、基本理论知识和基本方法；理解通过随机变量，利用函数等工具和相关方法研究随机现象的思想；理解大数定律和中心极限定理。掌握利用概率论的基本理论知识和思维方法分析和处理问题的基本技能，了解概率论在物理、计算机和生物等学科及其在实践中的应用。
理解和掌握数理统计的思想和方法；理解统计量及其分布、参数估计、假设检验等理论中的基本思想和方法；熟练掌握
分布、
分布和
分布的定义及性质；理解矩法估计、极大似然估计法、最小方差无偏估计；掌握假设检验的基本步骤及可能产生的两类错误。【支撑毕业要求3、6】2. 理解概率论与数理统计中基本概念的建立过程；训练学生的抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力；培养学生利用概率论与数理统计的基本理论知识和方法进行相关问题的解析、计算和证明的能力；引导学生将实际中与概率论、数理统计相关的问题转化为教研问题；树立终身学习理念，培养学生课堂参与度和自主学习习惯。【支撑毕业要求3、4】
3. 理解概率论、数理统计与实际生活的紧密联系，提高从现象中把握事物规律的能力；具备主动运用概率论与数理统计的思维与方法去分析问题、解决问题和处理其他相关专业的一些问题的基本能力；培养学生创新能力，学会独立思考，具备批判性精神。【支撑毕业要求3、6、7】
（二）课程目标与毕业要求的对应关系
表1 课程目标与毕业要求的对应关系
| 课程目标 | 支撑的毕业要求 | 支撑的毕业要求指标点 |
| 课程目标1 |
3.学科素养 6.综合育人 |
3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。 |
| 3.2【学科融合】了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。 | ||
| 3.3【专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学学科专业能力。 | ||
| 6.2【学科育人】理解数学学科育人价值，具有“三全”育人意识，能有机结合数学教学进行育人活动。 | ||
| 课程目标2 |
3.学科素养 4.教学能力 |
3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。 |
| 3.3【专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学学科专业能力。 | ||
| 4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。 | ||
| 课程目标3 |
3.学科素养 6.综合育人 7.学会反思 |
3.2【学科融合】了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。 |
| 6.2【学科育人】理解数学学科育人价值，具有“三全”育人意识，能有机结合数学教学进行育人活动。 | ||
| 7.3【勤学善思】掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方法分析和解决数学教育教学中的问题。 |
（一）课程内容与课程目标的关系
表2 课程内容与课程目标的关系
| 课程内容 | 教学方法 | 支撑的课程目标 | 学时安排 |
| 第一章 概率论的基本概念 | 案例式教学、课堂讲授 | 课程目标1、2、3 | 8 |
| 第二章 随机变量及其分布 | 案例式教学、课堂讲授 | 课程目标1、2、3 | 12 |
| 第三章 多维随机变量及其分布 | 案例式教学、课堂讲授 | 课程目标1、2、3 | 12 |
| 第四章 随机变量的数字特征 | 案例式教学、课堂讲授 | 课程目标1、2、3 | 10 |
| 第五章 大数定律及中心极限定理 | 案例式教学、课堂讲授 | 课程目标1、2、3 | 4 |
| 第六章 样本及抽样分布 | 案例式教学、课堂讲授 | 课程目标1、2、3 | 6 |
| 第七章 参数估计 | 案例式教学、课堂讲授 | 课程目标1、2、3 | 8 |
| 第八章 假设检验 | 案例式教学、课堂讲授 | 课程目标1、2、3 | 4 |
| 合计 | 64学时 | ||
第一章 概率论的基本概念（8学时）
【教学目标与要求】1、教学目标：
使学生认识到生活中随处可见随机现象，了解对此现象进行研究的思想和方法。掌握概率论的基本概念，与先修课程中的概念和方法建立连接和对比。能利用概率及条件概率的概念和性质进行计算和解决一些实际问题。
2、教学要求：
1）了解随机试验的概念；理解样本空间与随机事件的概念；掌握事件之间的关系与运算。
2）了解频率的概念，掌握概率的公理化定义与概率的性质（加法公式、减法公式等）及计算。
3）掌握古典概型与几何概率的计算方法。
4）理解条件概率的概念；掌握概率乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式。
5）理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算。
【教学重点与难点】
1、教学重点：概率的概念和公理化定义，概率的基本性质，古典型概率的计算方法，加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式，事件的独立性。
2、教学难点：概率的公理化定义、几何概率的确定方法和条件概率的三个公式的应用
【学习内容】
1. 随机试验
2. 样本空间、随机事件
3. 频率与概率
4. 等可能概型（古典概型）
5. 条件概率
6. 独立性
【思政元素融入点】
结合概率论的历史及生活中的例子使学生了解这门课程的重要意义，通过大量应用案例，增强学生数学建模能力以及解决实际问题的能力，培养学生数学思维，通过案例教育学生要诚实守信，遵守社会行为规范，养成良好的行为品德。
第二章 随机变量及其分布（12学时）
【教学目标与要求】1、教学目标：
随机变量是用来研究随机现象（随机试验）的数学工具，通过本章的学习，使学生掌握用数学的方法研究解决问题的思想和方法。掌握表示随机变量分布的方法，会进行相关计算。可以在生活中找到常用分布的例子，并能将相应问题抽象成数学模型进行求解。
2、教学要求：
1）理解随机变量及其概率分布的概念；理解分布函数的概念及性质；会计算与随机变量相联系的事件的概率。
2）理解离散型随机变量及其概率分布列的概念；掌握0－1分布、二项分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用；了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
3）理解随机变量的分布函数的概念，并会运用分布函数求随机事件的概率。
4）理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用。
5）理解随机变量的函数的分布，掌握其计算方法。
【教学重点与难点】
1、教学重点：随机变量的概念，分布函数的概念，离散型随机变量的概率分布律，连续型随机变量的概率密度函数，常用分布。
2、教学难点：随机变量的函数的分布。
【学习内容】
1. 随机变量
2. 离散型随机变量及其分布律
3. 随机变量的分布函数
4. 连续型随机变量及其概率密度
5. 随机变量的函数的分布
【思政元素融入点】
通过伯努利试验教育学生不能轻视小概率事件，从小事做起，持之以恒，就不怕任何困难；通过维修工人分配案例，从数学角度探讨“大锅饭”与“责任制”的利弊，引导学生要学会用数学知识解决实际问题，团结协作，加强团队精神的培养。
第三章 多维随机变量及其分布（12学时）
【教学目标与要求】1、教学目标：
在学习（一维）随机变量及其分布之后，继续深入学习二维及多维随机变量的概念及分布，在学习本章内容时，可以与前一章内容进行对照比较。通过本章的学习，使学生加深对随机变量的理解，掌握多维随机变量，特别是二维随机变量与一维随机变量的联系。能用所学概念和方法进行相应的计算。可以在生活中找到常用二维分布的例子。
2、教学要求：
1）理解二维随机变量的概念；理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式；会求离散型联合概率分布律；理解连续型联合概率密度；会利用二维概率分布求有关随机事件的概率。
2）理解边缘分布和边缘概率密度函数的概念。
3）了解条件分布和条件密度函数的概念。
4）理解随机变量的独立性概念，掌握离散型和连续型随机变量独立的条件；掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的联合概率密度，理解其中参数的概率意义。
5）掌握两个随机变量的简单函数（和、顺序统计量）的分布的求法。
【教学重点与难点】
1、教学重点： 二维随机变量的联合分布，离散型二维随机变量的联合分布律，连续型二维随机变量的联合概率目的函数，两个随机变量函数的分布。
2、教学难点：两个随机变量的函数的分布。
【学习内容】
1. 二维随机变量
2. 边缘分布
3. 条件分布
4. 相互独立的随机变量
5. 两个随机变量的函数的分布
【思政元素融入点】
通过联合分布与边缘分布的关系，提醒学生整体决定局部，但局部不能决定整体的科学观点，鼓励学生查阅资料寻找反例，培养学生科学严谨的学习态度。
第四章 随机变量的数字特征（10学时）
【教学目标与要求】1、教学目标：
研究某些随机变量，并不总是关心其整体的分布，有时仅需要考查部分特征，这就需要借助随机变量的数字特征。通过本章的学生，使学生理解随机变量的数字特征的意义，能够熟练计算，并能利用随机变量的数字特征解决一些实际问题。
2、教学要求：
1）理解随机变量的数学期望的概念；掌握某种具体分布的数学期望的求法；熟记常用分布（如0－1分布、二项分布、泊松（Poisson）分布、均匀分布、正态分布、指数分布等）的数学期望。
2）理解随机变量的方差的概念；掌握某种具体分布的方差的求法；熟记常用分布（如0－1分布、二项分布、泊松（Poisson）分布、均匀分布、正态分布、指数分布等）的方差。
3）理解随机变量的协方差及相关系数的概念；掌握某种具体分布的协方差及相关系数的求法。
4）掌握各数字特征的运算性质。
5）了解矩、协方差矩阵的概念。
【教学重点与难点】
1、教学重点：随机变量数字特征（数学期望、方差、协方差、相关系数）的概念，会计算具体分布的数字特征，能够运用数字特征的性质进行计算推导。
2、教学难点：根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望。
【学习内容】
1. 数学期望
2. 方差
3. 协方差及相关系数
4. 矩、协方差矩阵大数定律
【思政元素融入点】
通过相关历史背景的介绍，使学生认识到概率论的发展起源及其实际价值。通过分析血液抽检问题，结合新冠病毒检测的实际案例，培养学生分析问题何解决问题的能力，使学生认识到所学知识在生活中的应用价值。
第五章 大数定律及中心极限定理（4学时）
【教学目标与要求】1、教学目标：
极限定理是概率论的基本理论，在理论研究与应用中起着重要的作用，其中最重要的是称为“大数定律”与“中心极限定理”的一些定理。通过本章的学习，是学生理解大数定律与中心极限定理研究的是何问题，理解常见的大数定律与中心极限定理的内容，能利用极限定理解决一些实际问题。
2、教学要求：
1）理解大数定律研究的问题；理解常见的几个大数定律。
2）理解中心极限定理研究的问题；理解常见的几个中心极限定理。
3）能够利用极限定理解决一些实际问题。
【教学重点与难点】
1、教学重点：大数定律与中心极限定理研究的问题，常见的几个大数定律与中心极限定理，大数定律与中心极限定理的应用。
2、教学难点：大数定律与中心极限定理的应用。
【学习内容】
1. 大数定律
2. 中心极限定理
【思政元素融入点】
通过介绍伯努利、切比雪夫、辛钦等数学家生平，让学生感受每一个数学结论都是数学家毕生为之奋斗的心血，培养学生刻苦钻研积极进取的精神。通过两个重要定理的讲解，使学生认识到理论与实际的紧密联系。
第六章 样本及抽样分布（6学时）
【教学目标与要求】
1、教学目标：
本章主要学习总体、随机样本及统计量的概念，并着重介绍几个常用的统计量及抽样分布，这些内容是数理统计中对所研究的随机变量做出推断的基础知识与基本理论。通过本章的学习，使学生理解统计的基本概念，掌握常用的三大分布的概念和性质。
2、教学要求：
1）理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念。
2）了解直方图和箱线图的含义及画法。
3）了解
分布、t分布和F分布的概念及性质；了解分位数的概念并会查表计算；了解正态总体的某些常用抽样分布。【教学重点与难点】
1、教学重点：统计量的概念，样本均值和方差的计算，
分布、t分布、F分布的定义及有关的重要结论，会查表求此三大抽样分布的概率及分位数，正态总体的常用统计量的分布。2、教学难点：总体与样本的区别和联系，正态总体样本均值和样本方差的分布， 三大抽样分布的概念及性质。
【学习内容】
1. 随机样本
2. 直方图和箱线图
3. 抽样分布
【思政元素融入点】
通过介绍统计方法在抽样调查及数据分析中的作用，鼓励学生参加统计调查大赛，培养学生要关注民生热点话题，学以致用。
第七章 参数估计（8学时）
【教学目标与要求】1、教学目标：
统计推断的基本问题可以分为两大类，一类是估计问题，另一类是假设检验问题。本章讨论的是总体参数的点估计和区间估计。通过本章的学习，使学生理解参数估计讨论的问题，理解点估计与区间估计的思想和方法，能够利用点估计和区间估计的方法针对具体问题给出推断。
2、教学要求：
1）理解点估计、估计量的概念，掌握矩估计法、最大似然估计法，了解不同估计法的优劣。
2）了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）。
3）理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间。
4）理解两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。
【教学重点与难点】
1、教学重点：参数的点估计与区间估计的概念，参数的矩估计法和最大似然估计法，单个正态总体的均值和方差的置信区间的求法，两个正态总体的均值差和方差比的置信区间的求法。
2、教学难点：单个正态总体的均值和方差的置信区间的求法，两个正态总体的均值差和方差比的置信区间的求法。
【学习内容】
1. 点估计
2. 估计量的评选标准
3. 区间估计
4. 正态总体均值与方差的区间估计
【思政元素融入点】
通过各种参数估计方法的比较和应用，培养学生科学严谨的数学思维。
第八章 假设检验（4学时）
【教学目标与要求】1、教学目标：
假设检验问题是统计推断的一类重要问题。有时会对总体做出一些假设，需要根据样本对此假设做出接收还是拒绝的决策，假设检验是做出这一决策的过程。通过本章的学习，使学生理解假设检验解决的问题，掌握假设检验的过程，能利用假设检验的方法对实际问题做出统计推断。
2、教学要求：
1）理解假设检验解决的统计问题，理解假设检验的原理。
2）理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。
3）能利用假设检验的方法，对实际问题做出推断。
【教学重点与难点】
1、教学重点：假设检验的原理，假设检验可能会犯的两种错误，显著性检验的概念，假设检验的过程和基本步骤。
2、教学难点：假设检验的原理。
【学习内容】
1. 假设检验
2. 正态总体均值的假设检验
3. 正态总体方差的假设检验
【思政元素融入点】
鼓励学生要选择科学的统计方法，进行数据处理，尊重事实，不弄虚作假，在工作和学习中都要诚信。
四、教学方法
本课程的教学主要采用课堂讲授与讨论、作业、辅导答疑等方式进行，并在教学过程中注重多媒体等现代教育技术手段的开发和使用，有效调动学生的学习积极性，促进学生积极思考，激发学生潜能。通过案例学习和课后习题讲解，增加学生对所学内容的理解，提高应用能力。
五、实践教学安排
选取章节习题安排学生进行讲解，加强知识理解和教学基本功；部分知识点尝试采用翻转课堂授课。
六、课程考核
本课程考核采用平时考核与期末考试两部分进行，平时考核占40%（包括三项：课后作业、课堂考勤、课堂表现、小测试），期末考试成绩占60%。期末考试采用笔试方式进行，任课老师命题，流水阅卷。
七、课程评价
（一）课程目标评价标准
表3 课程目标评价标准
| 课程目标 | 评价标准 | ||||
| 90-100分 | 80-89分 | 70-79分 | 60-69分 | 0-59分 | |
| 优 | 良 | 中 | 及格 | 不及格 | |
| 课程目标1 |
1. 很好地掌握概率论与数理统计的基本概念、基本定理和基本方法； 2. 深刻体会概率论与数理统计在计算机等学科的应用； 3. 具备很好的数学运算能力； 4. 深刻理解课程的育人价值。 |
1. 较好地掌握概率论与数理统计的基本概念、基本定理和基本方法； 2. 能够体会概率论与数理统计在计算机等学科的应用； 3. 具备较好的数学运算能力； 4. 能够领会课程的育人价值。 |
1. 能够掌握概率论与数理统计的基本概念、基本定理和基本方法； 2. 了解概率论与数理统计在计算机等学科的应用； 3. 具备数学运算能力； 4. 领会课程的育人价值。 |
1.基本掌握概率论与数理统计的基本概念、基本定理和基本方法； 2. 基本了解概率论与数理统计在计算机等学科的应用； 3. 基本具备数学运算能力； 4.基本领会课程的育人价值。 |
1.不能完全掌握概率论与数理统计的基本概念、基本定理和基本方法； 2. 不完全了解概率论与数理统计在计算机等学科的应用； 3. 不完全具备数学运算能力； 3.不能完全领会课程的育人价值。 |
| 课程目标2 |
1. 具备很好的抽象概括能力、逻辑推理能力； 2. 具备很好的将数学问题转化为教研问题并进行一定的数学教学研究的能力。 |
1. 具备较好的抽象概括能力、逻辑推理能力； 2. 具备较好的将数学问题转化为教研问题并进行一定的数学教学研究的能力。 |
1. 具备抽象概括能力、逻辑推理能力； 2. 具备将数学问题转化为教研问题并进行一定的数学教学研究的能力。 |
1. 基本具备抽象概括能力、逻辑推理能力； 2. 基本具备将数学问题转化为教研问题并进行一定的数学教学研究的能力。 |
1. 不完全具备抽象概括能力、逻辑推理能力； 2. 不完全具备将数学问题转化为教研问题并进行一定的数学教学研究的能力。 |
| 课程目标3 |
1. 具有很好的自主学习和自我反思能力； 2. 具备很好的分析问题并利用数学建模解决问题的能力。 |
1. 具有较好的自主学习和自我反思能力； 2. 具备较好的分析问题并利用数学建模解决问题的能力。 |
1. 具有自主学习和自我反思能力； 2. 具备分析问题并利用数学建模解决问题的能力。 |
1. 基本具有自主学习和自我反思能力； 2. 基本具备分析问题并利用数学建模解决问题的能力。 |
1. 不完全具有自主学习和自我反思能力； 2. 不完全具备分析问题并利用数学建模解决问题的能力。 |
（二）课程目标评价方法
课程评价主要是本门课程的课程目标达成度评价。课程目标达成度评价主要采用定量评价与定性评价相结合的方法，具体包括：调查问卷、平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩。相应课程目标评价方式见表4。
表4 课程目标评价方式
| 课程目标 | 调查问卷 | 平时成绩 | 期末考试 |
| 课程目标1 | √ | √ | √ |
| 课程目标2 | √ | √ | √ |
| 课程目标3 | √ | √ | √ |
1. 定性评价
定性评价采用调查问卷的方式来实现。调查问卷根据本门课程目标制作，主要反映被调查者（教师本人和学生）对课程目标达成的满意度，根据被调查者的满意程度赋分。具体计算方式见表5。
表5 教师、学生对课程目标达成情况评价
| 课程目标 | 教师评价50% | 学生评价50% | 课程目标达成评价方法 |
| 课程目标1 | T1 | S1 |
课程分目标Ai达成度=0.5×Ti+0.5×Si，（i=1,2,3）; 课程目标整体达成度=min{Ai} |
| 课程目标2 | T2 | S2 | |
| 课程目标3 | T3 | S3 |
2. 定量评价
定量评价包括平时成绩和期末考试。平时成绩包括考勤、作业、课堂表现，任课教师根据具体情况赋分；期末考试成绩根据学生得分赋分，最终按照表6所列分值为百分比权重进行转换。
表6 课程考核成绩对课程目标达成情况评价
| 课程目标 | 平时成绩30% | 期末考试成绩70% | 课程目标达成评价方法 |
| 课程目标1 | 40 | 40 |
课程分目标达成度Bi=0.3×（分目标平时成绩平均分/分目标平时成绩总分）+0.7×（分目标期末考试成绩平均分/分目标期末考试成绩总分）（i=1,2,3）； 期末考试各分目标平均分、总分按试卷详情核算； 课程目标整体达成度=min{Bi}。 |
| 课程目标2 | 30 | 30 | |
| 课程目标3 | 30 | 30 |
3.综合评价
课程目标达成情况综合评价按照定性和定量所占权重进行综合计算，具体如表7所示。
表7 课程目标达成情况评价
| 课程目标 | 调查问卷20% | 课程考核成绩80% | 课程目标达成评价方法 |
| 课程目标1 | A1 | B1 |
课程分目标达成度=0.2×Ai+0.8×Bi 课程目标整体达成度=课程分目标达成度的最小值。 |
| 课程目标2 | A2 | B2 | |
| 课程目标3 | A3 | B3 |
（一）建议选用教材
盛骤，谢式千，潘承毅，概率论与数理统计（第五版），北京：高等教育出版社，2020.
（二）主要参考书目
[1] 茆诗松等，概率论与数理统计教程（第三版），北京：高等教育出版社，2019.
[2] 杨洪礼，胡运红，概率论与数理统计（第二版），北京：科学出版社，2017.
制 订：数学与信息技术学院 教研室：数学与应用数学教研室
执笔人：赵秋霞 审订人：冯晓梅
